$38 \mathrm{ABC}$ est un triangle équilatéral de sens direct, inscrit dans le cercle ( ${ }^{C}$ ) de diamètre $[\mathrm{AD}]$ . $\newline$ $1$ . Démontrer que la transformation $f$ définie par : $\mathrm{f}=\mathrm{s}_{(\mathrm{BD})}$ o $\mathrm{s}_{(\mathrm{AC})}$ est une rotation, dont on précisera le centre I et l'angle. $\newline$ $2$ . Démontrer que la transformation $g$ définie par $g=s_{(C D)}$ o $s_{(A B)}$ est une rotation, dont on précisera le centre $J$ et l'angle. $\newline$ $3$ . Démontrer que le triangle AIJ est équilatéral. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations $g$ o $f$ et ${ }^{C}$ $2$ .

Full solution

38 \mathrm{ABC}

est un triangle équilatéral de sens direct, inscrit dans le cercle (

{ }^{C}

) de diamètre

[\mathrm{AD}]

\newline

1

. Démontrer que la transformation

f

définie par :

\mathrm{f}=\mathrm{s}_{(\mathrm{BD})}

\mathrm{s}_{(\mathrm{AC})}

est une rotation, dont on précisera le centre I et l'angle.

\newline

2

. Démontrer que la transformation

g

définie par

g=s_{(C D)}

s_{(A B)}

est une rotation, dont on précisera le centre

J

et l'angle.

\newline

3

. Démontrer que le triangle AIJ est équilatéral. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations

g

f

{ }^{C}

2

Identify Center of Rotation: Identify the center of rotation for transformation $f$ . Since $f$ is the composition of reflections over lines $BD$ and $AC$ in an equilateral triangle, the center of rotation is the intersection of $BD$ and $AC$ , which is the center of the triangle and circle, point $I$ .
Determine Angle of Rotation: Determine the angle of rotation for transformation $f$ . The angle between lines $BD$ and $AC$ is $60$ degrees, so the angle of rotation is twice that, which is $120$ degrees.
Identify Center of Rotation: Identify the center of rotation for transformation $g$ . Similar to $f$ , $g$ is the composition of reflections over lines $CD$ and $AB$ . The center of rotation is the intersection of $CD$ and $AB$ , which is also the center of the triangle and circle, point $J$ .
Determine Angle of Rotation: Determine the angle of rotation for transformation $g$ . The angle between lines $CD$ and $AB$ is $60$ degrees, so the angle of rotation is twice that, which is $120$ degrees.
Prove Triangle $AIJ$ is Equilateral: Prove that triangle $AIJ$ is equilateral. $\newline$ Since $I$ and $J$ are the same point, the center of the equilateral triangle $ABC$ , $AI = AJ$ . Also, the angles at $I$ and $J$ are each $120$ degrees, so triangle $AIJ$ is equilateral.