Soit $\left(U_{n}\right)_{n \in N}$ la suite définie pour tout $n \in N$ par $U_{0}=1$ et $U_{n+1}=\frac{1}{2} U_{n}+2$ . $\newline$ $1$ . Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$ . $\newline$ $2$ . On pose pour tout $n \in N V_{n}=U_{n}-4$ . $\newline$ a. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ . $\newline$ b. En déduire l'expression de $V_{n}$ puis de $n \in N$ $0$ pour tout $n \in N$ . $\newline$ $3$ . Montrer que $n \in N$ $0$ est croissante.

Full solution

Q. Soit

\left(U_{n}\right)_{n \in N}

la suite définie pour tout

n \in N

par

U_{0}=1

U_{n+1}=\frac{1}{2} U_{n}+2

\newline

1

. Calculer

U_{1}

U_{2}

\newline

2

. On pose pour tout

n \in N V_{n}=U_{n}-4

\newline

a. Montrer que

\left(V_{n}\right)

est géométrique de raison

\frac{1}{2}

\newline

b. En déduire l'expression de

V_{n}

puis de

n \in N

0

pour tout

n \in N

\newline

3

. Montrer que

n \in N

0

est croissante.

Calculate $U_1$ : To calculate $U_1$ , use the recursive formula $U_{(n+1)} = \frac{1}{2}U_n + 2$ with $n = 0$ . $U_1 = \frac{1}{2}U_0 + 2 = \frac{1}{2}\cdot1 + 2 = 0.5 + 2 = 2.5$ .
Calculate $U_2$ : To calculate $U_2$ , use the recursive formula again with $n = 1$ . $U_2 = (\frac{1}{2})U_1 + 2 = (\frac{1}{2})\cdot2.5 + 2 = 1.25 + 2 = 3.25$ .
Define $V_n$ as geometric: Define $V_n = U_n - 4$ for all $n \in \mathbb{N}$ . To show that $V_n$ is geometric, consider $V_{(n+1)} = U_{(n+1)} - 4$ . $V_{(n+1)} = \frac{1}{2}U_n + 2 - 4 = \frac{1}{2}(U_n - 4) = \frac{1}{2}V_n$ . This shows that $V_n$ is a geometric sequence with a common ratio of $\frac{1}{2}$ .
Expression for $V_n$ : The expression for $V_n$ as a geometric sequence with initial term $V_0 = U_0 - 4 = 1 - 4 = -3$ and ratio $(1/2)$ is: $\newline$ $V_n = V_0 \times (1/2)^n = -3 \times (1/2)^n$ .
Find expression for $U_n$ : To find the expression for $U_n$ , add $4$ to both sides of the equation for $V_n$ : $U_n = V_n + 4 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + 4.$
Show $U_n$ is increasing: To show that $U_n$ is increasing, consider $U_{(n+1)} - U_n$ : $U_{(n+1)} - U_n = \left[\frac{1}{2}U_n + 2\right] - U_n = - \frac{1}{2}U_n + 2$ . Since $U_n$ is always positive, $-\frac{1}{2}U_n$ is negative, and adding $2$ makes the difference positive, showing that $U_n$ is increasing.