Прибуток фірми задається функцією $f(x) = 4000 - x - \frac{3000000}{x}$ , де $x>0$ - кількість виробленої продукції. Знайдіть середній прибуток фірми, якщо фактична кількість виробленої продукції змінюється від $1000$ до $3000$ одиниць.

View step-by-step help

Home

Math Problems

Algebra 2

Solve quadratic equations: word problems

Full solution

Q. Прибуток фірми задається функцією

f(x) = 4000 - x - \frac{3000000}{x}

, де

x>0

- кількість виробленої продукції. Знайдіть середній прибуток фірми, якщо фактична кількість виробленої продукції змінюється від

1000

до

3000

одиниць.

Calculate average profit function: : Calculate the average profit function $A(x)$ by integrating the profit function $f(x)$ over the interval from $1000$ to $3000$ and then dividing by the length of the interval. $A(x) = \left(\frac{1}{3000-1000}\right) * \int_{1000}^{3000} (4000 - x - \frac{3000000}{x}) dx$
Integrate profit function: : Integrate the function $f(x) = 4000 - x - \frac{3000000}{x}$ . $\int(4000 - x - \frac{3000000}{x}) dx = 4000x - \frac{x^2}{2} - 3000000\ln(x) + C$
Evaluate integral: : Evaluate the integral from $x=1000$ to $x=3000$ . $4000(3000) - \frac{(3000)^2}{2} - 3000000\ln(3000) - (4000(1000) - \frac{(1000)^2}{2} - 3000000\ln(1000))$
Simplify expression: : Simplify the expression. $12000000 - 4500000 - 3000000\ln(3000) - (4000000 - 500000 - 3000000\ln(1000))$
Combine like terms: : Combine like terms and calculate the values. $\newline$ $7500000 - 3000000\ln(3000) + 3000000\ln(1000)$
Use logarithmic properties: : Use the properties of logarithms to simplify the expression. $7500000 - 3000000(\ln(3000) - \ln(1000))$
Simplify logarithmic expression: : Simplify the logarithmic expression using the fact that $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ . $7500000 - 3000000\ln(3)$
Calculate value of expression: : Calculate the value of the logarithm and the entire expression. $\newline$ $7500000 - 3000000\ln(3) \approx 7500000 - 3000000(1.0986)$
Finish calculation: : Finish the calculation. $\newline$ $7500000 - 3295800 \approx 4204200$