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Un maraîcher désire renouveler progressivement sa culture de fraises.
Pour cela, il plante chaque année 30 nouveaux plants, sachant que, chaque année,
8% des anciens plants meurent naturellement. On admet que chaque plan produit chaque année, en moyenne, 10 fraises de sorte que l'on admettra que
k plans produisent
10 k fraises par an.
En 2023, il possède 150 plants de fraisiers. On appelle
u_(n) le nombre de fraises produites l'année
2023+n. Par exemple,
u_(0)=150 ×10=1500.

Calculer
u_(1),u_(2) et
u_(3).
On admet que, pour tout
n de
N,u_(n+1)=0,92u_(n)+300.
On considère la suite
(v_(n)) définie pour tout
n de
N, par :
v_(n)=u_(n)-3750.
a. Calculer
v_(0),v_(1),v_(2) et
v_(3).
b. Démontrer que la suite
[v_(n)] est géométrique.
c. Exprimer
v_(n) en fonction de
n.
d. En déduire une expression de
u_(n) en fonction de
n.
Montrer que :
u_(0)+u_(1)+dots+u_(n)=3750(n+1)-28125(1-0,92^(n+1)). combien de fraises seront produites entre le
1^("er ") janvier 2023 et le 31 décembre 2033 ?

Un maraîcher désire renouveler progressivement sa culture de fraises. $\newline$ Pour cela, il plante chaque année $30$ nouveaux plants, sachant que, chaque année, $8 \%$ des anciens plants meurent naturellement. On admet que chaque plan produit chaque année, en moyenne, $10$ fraises de sorte que l'on admettra que $k$ plans produisent $10 k$ fraises par an. $\newline$ En $2023$ , il possède $150$ plants de fraisiers. On appelle $u_{n}$ le nombre de fraises produites l'année $2023+n$ . Par exemple, $u_{0}=150 \times 10=1500$ . $\newline$ $1$ . Calculer $u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$ . $\newline$ $2$ . On admet que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}, u_{n+1}=0,92 u_{n}+300$ . $\newline$ On considère la suite $k$ $0$ définie pour tout $k$ $1$ de $k$ $2$ , par : $k$ $3$ . $\newline$ a. Calculer $k$ $4$ et $k$ $5$ . $\newline$ b. Démontrer que la suite $k$ $6$ est géométrique. $\newline$ c. Exprimer $k$ $7$ en fonction de $n$ . $\newline$ d. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ . $\newline$ $3$ . Montrer que : $10 k$ $1$ . combien de fraises seront produites entre le $10 k$ $2$ janvier $2023$ et le $31$ décembre $2033$ ?

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Q. Un maraîcher désire renouveler progressivement sa culture de fraises.

\newline

Pour cela, il plante chaque année

30

nouveaux plants, sachant que, chaque année,

8 \%

des anciens plants meurent naturellement. On admet que chaque plan produit chaque année, en moyenne,

10

fraises de sorte que l'on admettra que

k

plans produisent

10 k

fraises par an.

\newline

2023

, il possède

150

plants de fraisiers. On appelle

u_{n}

le nombre de fraises produites l'année

2023+n

. Par exemple,

u_{0}=150 \times 10=1500

\newline

1

. Calculer

u_{1}, u_{2}

u_{3}

\newline

2

. On admet que, pour tout

n

\mathbb{N}, u_{n+1}=0,92 u_{n}+300

\newline

On considère la suite

k

0

définie pour tout

k

1

k

2

, par :

k

3

\newline

a. Calculer

k

4

k

5

\newline

b. Démontrer que la suite

k

6

est géométrique.

\newline

c. Exprimer

k

7

en fonction de

n

\newline

d. En déduire une expression de

u_{n}

en fonction de

n

\newline

3

. Montrer que :

10 k

1

. combien de fraises seront produites entre le

10 k

2

janvier

2023

et le

31

décembre

2033

Calculate $u_{1}$ : Calculate $u_{1}$ using the given formula $u_{n+1}=0.92u_{n}+300$ . $\newline$ $u_{1} = 0.92u_{0} + 300$ $\newline$ $u_{1} = 0.92(1500) + 300$ $\newline$ $u_{1} = 1380 + 300$ $\newline$ $u_{1} = 1680$
Calculate $u_{2}$ : Calculate $u_{2}$ using the same formula. $u_{2} = 0.92u_{1} + 300$ $u_{2} = 0.92(1680) + 300$ $u_{2} = 1545.6 + 300$ $u_{2} = 1845.6$ , but since we can't have a fraction of a strawberry, round to the nearest whole number. $u_{2} = 1846$
Calculate $u_{3}$ : Calculate $u_{3}$ using the same formula. $u_{3} = 0.92u_{2} + 300$ $u_{3} = 0.92(1846) + 300$ $u_{3} = 1698.32 + 300$ $u_{3} = 1998.32$ , round to the nearest whole number. $u_{3} = 1998$
Calculate $v_{0}$ : Calculate $v_{0}$ using the definition $v_{n}=u_{n}-3750$ .
$v_{0} = u_{0} - 3750$
$v_{0} = 1500 - 3750$
$v_{0} = -2250$
Calculate $v_{1}$ : Calculate $v_{1}$ using the definition $v_{n}=u_{n}-3750$ . $\newline$ $v_{1} = u_{1} - 3750$ $\newline$ $v_{1} = 1680 - 3750$ $\newline$ $v_{1} = -2070$
Calculate $v_{2}$ : Calculate $v_{2}$ using the definition $v_{n}=u_{n}-3750$ .
$v_{2} = u_{2} - 3750$
$v_{2} = 1846 - 3750$
$v_{2} = -1904$
Calculate $v_{3}$ : Calculate $v_{3}$ using the definition $v_{n}=u_{n}-3750$ .
$v_{3} = u_{3} - 3750$
$v_{3} = 1998 - 3750$
$v_{3} = -1752$
Demonstrate sequence is geometric: Demonstrate that the sequence $[v_{n}]$ is geometric. $\newline$ We know that $u_{n+1} = 0.92u_{n} + 300$ , and $v_{n} = u_{n} - 3750$ . $\newline$ So, $v_{n+1} = u_{n+1} - 3750 = 0.92u_{n} + 300 - 3750$ $\newline$ $v_{n+1} = 0.92(u_{n} - 3750) - 3750 + 300 + 0.92(3750)$ $\newline$ $v_{n+1} = 0.92v_{n} - 3450 + 3450$ $\newline$ $v_{n+1} = 0.92v_{n}$ $\newline$ This shows that $[v_{n}]$ is a geometric sequence with a common ratio of $0.92$ .
Express $v_{n}$ in terms of $n$ : Express $v_{n}$ in terms of $n$ . $\newline$ Since $[v_{n}]$ is geometric with a common ratio of $0.92$ and $v_{0} = -2250$ , $\newline$ $v_{n} = v_{0} \times 0.92^n$ $\newline$ $v_{n} = -2250 \times 0.92^n$
Deduce expression for $u_{n}$ : Deduce an expression for $u_{n}$ in terms of $n$ .
$u_{n} = v_{n} + 3750$
$u_{n} = -2250 \times 0.92^{n} + 3750$
Show sum formula for $u_{n}$ : Show that $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = 3750(n+1) - 28125(1 - 0.92^{(n+1)})$ . This is a sum of a geometric series, where the first term is $u_{0}$ and the common ratio is $0.92$ . The sum of the first $(n+1)$ terms of a geometric series is given by: $S_n = a(1 - r^{(n+1)}) / (1 - r)$ , where $a$ is the first term and $r$ is the common ratio. Here, $a = u_{0} - 3750 = -2250$ , and $r = 0.92$ . $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = 3750(n+1) - 28125(1 - 0.92^{(n+1)})$ $0$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = 3750(n+1) - 28125(1 - 0.92^{(n+1)})$ $1$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = 3750(n+1) - 28125(1 - 0.92^{(n+1)})$ $2$ This matches the given expression, so the formula is correct.
Calculate total strawberries produced: Calculate the total number of strawberries produced from January $1$ , $2023$ , to December $31$ , $2033$ . $\newline$ This is the sum of $u_{0}$ to $u_{10}$ . $\newline$ Using the formula derived: $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 3750(10+1) - 28125(1 - 0.92^{10+1})$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 3750(11) - 28125(1 - 0.92^{11})$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 41250 - 28125(1 - 0.92^{11})$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 41250 - 28125(1 - 0.4761262599)$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 41250 - 28125(0.5238737401)$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 41250 - 14734.104$ $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 26515.896$ , round to the nearest whole number. $\newline$ $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{10} = 26516$