En appliquant la m\'ethode de Newton, avec une approximation de d\'epart \'egale \`a : $x_0 = 2$ , pr\'esenter les $5$ premi\`eres \'etapes de calcul it\'eratif d’un z\'ero (d’une racine) de la fonction : $f(x) = 3\cdot x^5 - 2\cdot x^4 + 4\cdot x^2 - 7$ ; donner les $5$ r\'esultats avec au moins $5$ d\'ecimales exactes ; commencer par \'ecrire la d\'eriv\'ee de cette fonction et la formule de Newton.

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Algebra 1

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Q. En appliquant la m\'ethode de Newton, avec une approximation de d\'epart \'egale \`a :

x_0 = 2

, pr\'esenter les

5

premi\`eres \'etapes de calcul it\'eratif d’un z\'ero (d’une racine) de la fonction :

f(x) = 3\cdot x^5 - 2\cdot x^4 + 4\cdot x^2 - 7

; donner les

5

r\'esultats avec au moins

5

d\'ecimales exactes ; commencer par \'ecrire la d\'eriv\'ee de cette fonction et la formule de Newton.

Write Derivative: Step $1$ : Write the derivative of the function. $\newline$ $f(x) = 3x^5 - 2x^4 + 4x^2 - 7$ $\newline$ $f'(x) = 15x^4 - 8x^3 + 8x$
Apply Newton's Formula: Step $2$ : Apply Newton's formula to find $x_1$ . $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ $= 2 - \frac{(3 \cdot 2^5 - 2 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^2 - 7)}{(15 \cdot 2^4 - 8 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2)}$ $= 2 - \frac{(96 - 32 + 16 - 7)}{(240 - 64 + 16)}$ $= 2 - \frac{73}{192}$ $= 2 - 0.38021$ $= 1.61979$
Calculate $x_2$ : Step $3$ : Calculate $x_2$ using Newton's formula. $\newline$ $x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1.61979 - \frac{3 \cdot 1.61979^5 - 2 \cdot 1.61979^4 + 4 \cdot 1.61979^2 - 7}{15 \cdot 1.61979^4 - 8 \cdot 1.61979^3 + 8 \cdot 1.61979} = 1.61979 - \frac{3 \cdot 14.812 - 2 \cdot 8.567 + 4 \cdot 2.624 - 7}{15 \cdot 42.875 - 8 \cdot 10.506 + 8 \cdot 1.61979} = 1.61979 - \frac{44.436 - 17.134 + 10.496 - 7}{643.125 - 84.048 + 12.958} = 1.61979 - \frac{30.798}{572.035} = 1.61979 - 0.05384 = 1.56595$
Compute $x_3$ : Step $4$ : Compute $x_3$ . $x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)}$ $= 1.56595 - \frac{3\cdot1.56595^5 - 2\cdot1.56595^4 + 4\cdot1.56595^2 - 7}{15\cdot1.56595^4 - 8\cdot1.56595^3 + 8\cdot1.56595}$ $= 1.56595 - \frac{3\cdot12.176 - 2\cdot6.038 + 4\cdot2.451 - 7}{15\cdot37.947 - 8\cdot9.625 + 8\cdot1.56595}$ $= 1.56595 - \frac{36.528 - 12.076 + 9.804 - 7}{569.205 - 77.000 + 12.527}$ $= 1.56595 - \frac{27.256}{504.732}$ $= 1.56595 - 0.05401$ $= 1.51194$
Find $x_4$ : Step $5$ : Find $x_4$ . $x_4 = x_3 - \frac{f(x_3)}{f'(x_3)}$ $= 1.51194 - \frac{3\times1.51194^5 - 2\times1.51194^4 + 4\times1.51194^2 - 7}{15\times1.51194^4 - 8\times1.51194^3 + 8\times1.51194}$ $= 1.51194 - \frac{3\times11.547 - 2\times5.501 + 4\times2.286 - 7}{15\times34.847 - 8\times8.659 + 8\times1.51194}$ $= 1.51194 - \frac{34.641 - 11.002 + 9.144 - 7}{523.205 - 69.272 + 12.095}$ $= 1.51194 - \frac{25.783}{466.028}$ $= 1.51194 - 0.05531$ $= 1.45663$